★★谍海无涯之四：曼哈顿工程的发射场

前几个故事是热身的一星级入门难度★
这个故事是二星级的基础难度★★

1943年冬，美国战略服务局得到绝密情报，德国人即将完成世界上第一个核反应堆的建造，这就意味着造出第一颗原子弹为时不远。美国科学家们在绝密条件下，想方设法研究出了核弹，并开始着手人类史上的第一次核爆实验。
这就是著名的曼哈顿工程的发射场。
为了防止间谍的渗透和绝密情报的泄密，工程的保密工作很完善。
当时在实验中心的一共有11名科学家。项目相关的绝密材料都锁在保险箱里。大家约定，无论任何时候，只有当大多数科学家在场的时候，才能打开保险箱。
因此保险箱锁了好几把锁，每个科学家也有好几把钥匙。
问题是——
【推理问题】请问总计需要几把锁，每人要有几把钥匙？
【答案】您的答案及推理过程
【评分】总分10分
【点评】您对本贴的看法

答案已PM  PengZH版主

参考答案：总共要462把锁，每人必须有252把钥匙。
这其实是一个数学组合题。
解为462＝（11  5）。252＝（10  5）

[ 本帖最后由 獨醉 于 2013-12-31 00:28 编辑 ]

本帖最近评分记录

• PengZH 金币 +80 感谢支持推理~ 2013-12-28 09:47

答案：
设满足要求的最少把数的锁为n把，并记这n把锁的集合是A，Ai（i是下标）是第i个成员可以打开的锁的集合。对于{1，2，...，11}的任何5元子集{i1(数字是下标)，i2，...，i5}，有

Ai1（i是A的下标，1是i的下标，依此类推）并 Ai2 并 Ai3 并 Ai4 并 Ai5不等于A；

同理对于{1，2，...，11}的任何6元子集{j1，j2，...，j6}

Aj1 并 Aj2 并 Aj3 并 Aj4 并 Aj5 并 Aj6=A

设x(i1…i5)是锁的编号为i1，i2...，i5的那5个成员打不开的一把锁，而对于任何j不属于{i1，i2，...，i5}，x(i1…i5)一定属于Aj

综上所述，可以得到{1，2，...，11}的5元子集与锁之间的关系应该是一个单射关系（证明从略，因为我还没有得到一个十分严谨的证法，不好写上来）。
因为{1，2，...，11}的不同5元子集有C（5，11）=462个（就是11个中取5个的组合数），所以锁的数量至少是462把。

换句话说，给宝箱加上462把锁（现实生活中应该不会有人这么干的），并将这些锁与集合{1，2，...，11}的462个5元子集一一对应，将每把锁的6枚钥匙分发给这把锁所对应的5人组之外的6个成员保管使用，则任何5个成员都有一把锁打不开，而任何6个成员都能打开全部锁。符合要求。

所以，至少有462把锁，每把锁6枚钥匙=2772把钥匙=每人252把钥匙
评分：7分
点评：252把钥匙····科学家也是把力气活····

本帖最近评分记录

• 獨醉 金币 +95 10+5+30 正确+勋章翻倍 2013-12-31 00:29

所以，借用楼上答案462把锁，每把锁6枚钥匙、每人252把钥匙
评分：8分
点评：有点难度了，我也就看看。·

本帖最近评分记录

• 獨醉 金币 -5 不仔细答题，抄袭楼上 2013-12-31 00:29

【答案】一共66把锁。每人36把钥匙。首先需要大多数人在场也就是要大于等于6人。每把锁要有6把钥匙才能保证随便6个人之中就该锁的钥匙。然后在只有6人在场就等11人在场。简单的取个6和11的公倍数66把锁。
【评分】8
【点评】楼主前面的两篇入门没来得及参与。最近来的少了，而且喜欢看回复率低的新帖。所以点进来了。

本帖最近评分记录

• 獨醉 金币 +17 10+5+2 回复认真！ 2013-12-31 00:30

答案：

1. 共11人，大多数即6人

2. 任取5人都无法打开全部的锁，而这时只需加入剩余6人中的任意一人都可打开，这意味着，这任意的剩余的6人，共同有且只有他们有至少某一把锁的钥匙。这样，需为11人中的任意6人，都安排一把独立的锁相对应，所以排列组合，至少需要C(11,6)=462把锁。

3. 对于462把锁，每个人和其他10人中的5人组成一个小组，即对应一把独立的锁，独立的钥匙，这样，每个人都要有C(10,5)=252把不同的钥匙。

4. 按照上面原则进行分配后，任意5个人所具有的任一钥匙，总能在其余6人那里找到对应（因为全部是按6人小组分配不同的锁和钥匙的）。所以，任6人可以打开，任5人则总缺一把而打不开。

5.
锁总数：C(11, 6)=462
每人钥匙：C(10, 5)=252
钥匙总数：2772=462*6 或 252*11

评分：7
点评：改编得不错，似乎是经典数学题。

本帖最近评分记录

• 獨醉 金币 +32 10+5+15 正确 2013-12-31 00:30

答案：
锁总数：462
每人钥匙：252
钥匙总数：2772=462*6 或 252*11
评分：7
点评：只能是一道数学题，因为每个人都要具备与其他五人组合开锁的条件

本帖最近评分记录

• 獨醉 金币 +25 10+5+10 正确 2013-12-31 00:30